Множество действительных чисел

Если огромное количество оптимальных чисел дополнить обилием иррациональных чисел, то совместно они составят огромное количество реальных чисел. Огромное количество реальных чисел обычно обозначают буковкой R; употребляют также символическую запись (-оо, +оо) либо (-оо, оо).

Огромное Множество действительных чисел количество реальных чисел можно обрисовать так: это огромное количество конечных и нескончаемых десятичных дробей; конечные десятичные дроби и нескончаемые десятичные повторяющиеся дроби — оптимальные числа, а нескончаемые десятичные непериодические дроби — иррациональные числа Множество действительных чисел.

Каждое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой. Правильно и оборотное: любая точка координатной прямой имеет действительную координату. Арифметики обычно, молвят так: меж обилием R реальных чисел и обилием Множество действительных чисел точек координатной прямой установлено взаимно однозначное со ответствие. Координатная ровная есть геометрическая модель огромного количества реальных чисел; по этой причине для координатной прямой нередко употребляют термин числовая ровная.

Вникните в этот термин: не кажется Множество действительных чисел ли он вам неестественным? Ведь число — объект алгебры, а ровная — объект геометрии. Нет ли здесь «смешения жанров»? Нет, все разумно, все обмыслено. Этот термин в очередной раз подчеркивает единство разных областей Множество действительных чисел арифметики, дает возможность
отождествления понятий «действительное число» и «точка на координатной (числовой) прямой».

Направьте внимание: координатной прямой вы воспользовались начиная с 5-го класса. Но, оказывается, в ваших познаниях был полностью оправданный пробел: не для Множество действительных чисел хоть какой точки координатной прямой вы смогли бы отыскать координату — просто учитель берег вас от таковой проблемы.

Разглядим пример. Дана координатная ровная, на ее единичном отрезке построен квадрат (рис Множество действительных чисел. 100), диагональ квадрата ОВ отложена на координатной прямой от точки О на право, вышла точка D. Чему равна координата точки D? Она равна длине диагонали квадрата, т. е. . Это число, как
мы сейчас знаем, не Множество действительных чисел целое и не дробь. Означает, ни в 5-м, ни в 6-м, ни в 7-м классе координату точки D вы бы отыскать не смогли.

Поэтому мы до сего времени и гласили «координатная прямая», а Множество действительных чисел не «числовая прямая».

Заметим, что был очередной оправданный пробел в ваших познаниях по алгебре. Рассматривая выражения с переменными, мы всегда предполагали, что переменные могут принимать любые допустимые значения, но только оптимальные, ведь Множество действительных чисел других-то не было. По сути переменные могут принимать
любые допустимые действительные значения. К примеру, в тождестве
(а + Ь){а-b) = а2-b2 в роли а и b могут выступать любые числа Множество действительных чисел, не непременно
оптимальные. Этим мы уже воспользовались в конце предшествующего параграфа. Тем же мы воспользовались и в § 18 — а именно, в примерах 6, 7, 8 из обозначенного параграфа.

Для реальных чисел а, b Множество действительных чисел, с производятся обычные законы:
а + b = b + а;
аЬ = bа;

a + (b + c) = (a + b) + c

a(bc) =(ab)c
(а + b) с = ас + bc и т. д.
Производятся и обычные правила: произведение (личное) 2-ух положительных Множество действительных чисел чисел — положительное число;
произведение (личное) 2-ух отрицательных чисел — положительное число;
произведение (личное) положительного и отрицательного числа — отрицательное число.

Действительные числа можно ассоциировать вместе, используя последующее определение.

Определение. Молвят, что действительное Множество действительных чисел число а больше (меньше) реального числа b, если их разность а - b — положительное (отрицательное) число. Пишут а > b (а < b).

Из этого определения следует, что всякое положительное число а больше нуля Множество действительных чисел (так как разность а - 0 = а — положительное число), а всякое отрицательное число b меньше нуля (так как разность b - 0 = b — отрицательное число).

Итак, а > 0 значит, что а — положительное число;
а < 0 значит, что а — отрицательное число;
а Множество действительных чисел>b значит, что а -b — положительное число, т. е. а - b > 0;
a т.е. а - b < 0.
Наряду со знаками серьезных неравенств () употребляют знаки нестрогих неравенств:
а 0 значит, что а больше Множество действительных чисел нуля либо равно нулю, т. е. а — неотрицательное число (положительное либо 0), либо что а не меньше нуля;
а 0 значит, что а меньше нуля либо равно нулю, т. е. а — неположительное число (отрицательное либо 0), либо Множество действительных чисел что а не больше нуля;
а b значит, что а больше либо равно b, т. е. а - b — неотрицательное число, либо что а не меньше b; а - b 0;
а b значит, что Множество действительных чисел а меньше либо равно b, т. е. а - b — неположительное число, либо что а не больше Ь; а - b 0.
К примеру, для хоть какого числа а правильно неравенство а Множество действительных чисел2 0;
для всех чисел а и b правильно неравенство (а - b)2 0.
Вобщем, для сопоставления реальных чисел необязательно всякий раз составлять их разность и выяснять, положительна она либо отрицательна. Можно сделать соответственный вывод, сравнивая записи чисел Множество действительных чисел в виде десятичных дробей.

Геометрическая модель огромного количества реальных чисел, т. е. числовая ровная, делает операцию сопоставления чисел в особенности приятной: из 2-ух чисел а, b больше то, которое размещается на числовой Множество действительных чисел прямой правее.

Таким макаром, к сопоставлению реальных чисел необходимо подходить довольно гибко, что мы и используем в последующем примере.

Пример 1. Сопоставить числа:



Пример 2. Расположить в порядке возрастания числа


mochetochniki-i-mochevoj-puzir-ih-stroenie-topografiya-krovosnabzhenie-i-innervaciya.html
mochevidelitelnaya-sistema-i-kozha.html
mochevina-svojstva-primenenie.html